¿Cuál es la probabilidad de obtener una mano de poker?

Usemos un poco de matemáticas para revelar, mas objetivamente, porque unas manos de poker son más fáciles de obtener y otras son más difíciles de obtener.

Manos Totales: Hay un total de C(52,5) = 52!/(47!·5!) = 2,598,960 manos.

Escalera Real: Hay 4 formas de obtenerla, ya que esta mano está completamente determinada por el palo, y hay 4 palos posibles.

Escalera de Color: La mano está compleamente determinada por la carta mas baja, las cuales pueden ser entre A y 9 de un palo en particular (el 10 no se toma en cuenta porque sería escalera real). Hay 4 opciones de palo, haciendo un total de 9·4 = 36 escaleras de color.

Cuarteta: Hay 13 formas diferentes de obtener una cuarteta, y una vez que es obtenida hay 48 cartas adicionales para completar la mano. Por lo cual hay 13·48 = 624 manos.

Full house: Hay 13 formas de escoger el palo que aparece 3 veces y 12 formas de escoger el par. Hay C(4,3)=4!/((4-3)!·3!) = 4 formas de escoger la tercia y C(4,2) = 4!/((4-2)!·2!) = 6 formas de escoger un par. Entonces hay 13·12·4·6 = 3,744 formas de hacer un full house.

Color: Hay 4 palos. Una vez que el palo es escogido hay C(13,5) formas de escoger 5 cartas del mismo palo, pero en esas opciones estan también la escalera de color y la escalera real. Asi, hay 4·(C(13,5)-10) = 4·(1,287-10) = 5,108 manos.

Escalera: La carta mas baja en una escalera puede tener un valor entre A y 10, entonces hay 10 valores posibles. Necesitamos escoger una carta de cada valor, lo cual puede hacerce de 4^5 formas, pero 4 de esas formas seran todas del mismo palo (lo cual es escalera de color), entonces hay 10·(4^5-4) = 10·(1,024-4) = 10·1,020 = 10,200 escaleras diferentes.

Tercia: Hay 13 valores, de los cuales se pueden tomar 3 cartas en C(4,3) formas. Una vez que son tomadas, necesitamos tomar 2 cartas mas de distinto valor. La primera puede ser tomada de 48 formas, y una vez que se ha tomado, la segunda puede ser tomada de 44 formas. Pero estas dos últimas cartas pueden ser tomadas en cualquier orden, entonces debemos dividir entre 2, dando un total de 13·C(4,3)·48·44/2 = 13·4·48·4/2 = 54,912.

Dos Pares: Los dos valores pueden ser escogidos de C(13,2) maneras. Una vez que son escogidos, hay C(4,2) formas de escoger dos cartas cada valor. Finalmente, la carta final puede ser tomada en 44 formas, haciendo un total de C(13,2)·C(4,2)·C(4,2)·44 = 78·6·6·44 = 123,552.

Un Par: El valor puede se escogido de 13 formas, y las dos cartas de un valor en C(4,2) formas. Después, debemos escoger 3 cartas de diferente valor, lo cual puede se hecho de 48, 44 y 40 formas. Ya que pueden ser escogidas en cualquier orden, debemos dividir por el número de permutaciones de 3 cartas, o 3!. El número total de pares es entonces: 13·C(4,2)·48·44·40/P(3,3) = 13·6·48·44·40/6 = 1,098,240.

Pachuca (No pares/Carta mayor/Bust): Las 5 cartas deben ser escogidas de 5 valores diferentes, entonces hay 52·48·44·40·36 formas. Pero pueden ser tomados en cualquier orden por lo que debemos dividir entre 5!. Este conjunto incluye escaleras, colores, escaleras de color y escaleras reales, entonces debemos restarlas. Obteniendo : 52·48·44·40·36/5!-10,200-5,108-36-4 = 1,302,540.

Verificación: 4+36+624+3744+5108+10,200+54,912+123,552+1,098,240+ 1,302,540 = 2,598,960.